REKURZIVNI ALGORITMI
Rekurzija je metod u programiranju za rešavanje složenih problema iterativnim ponavljanjem određenog postupka(funkcije)koja rešava deo manjeg problema u tom složenom, koji se rešavaju ponavljanjem istog postupka(funkcije) više puta(rekurzivno).
Dati problem koji je složen se prvo podeli na više manjih problema, koje je lakše rešiti.Svaki taj potproblem se rešava nezavisno jedan od drugog i kada se svaki od nih reši, onda se ta rešenja kombinuju in a taj način rešava složen problem, od koga se pošlo.
Za razliku od petlji gde se određen postupak koji se ponavlja navodi u telu petlje, rekurzivni postupak je takođe iterativan, ali postupak koji se ponavlja je sam algoritam koji sam sebe poziva više puta direktno ili indirektno pozivanjem neke naredbe ili funkcije, koja onda poziva dati algoritam(funkciju).
Dati problem koji je složen se prvo podeli na više manjih problema, koje je lakše rešiti.Svaki taj potproblem se rešava nezavisno jedan od drugog i kada se svaki od nih reši, onda se ta rešenja kombinuju in a taj način rešava složen problem, od koga se pošlo.
Za razliku od petlji gde se određen postupak koji se ponavlja navodi u telu petlje, rekurzivni postupak je takođe iterativan, ali postupak koji se ponavlja je sam algoritam koji sam sebe poziva više puta direktno ili indirektno pozivanjem neke naredbe ili funkcije, koja onda poziva dati algoritam(funkciju).
Rekurzija primer: Izračunavanje stepena Xn
Xn=X*X*X* … *X= X*Xn-1 * X
Rešenje pomoću petlje
int XN=1;
for(int i=0; i
{
printf("XN=%d\n",XN);
for(int i=0; i
XN=XN*X;
}printf("XN=%d\n",XN);
Rešenje pomoću rekurzije
Treba da se napravi funkciju koja računa n-ti stepen broja x kao proizvod broja x i stepena broja x za jedan stepen manje tj.
Xn = Xn-1 * X
Ta funkcija kao parametar treba da primi osnovu stepena X, kao i izložilac stepena n. Za računanje n-1 stepena broja X može se pozvati ista funkcija, kojoj se sada prosleđuju kao parametri osnova X i kao drugi parametar izložilac, ali ovoga puta n-1. Postupak se opet dalje rekurzivno poziva sve dok se izložilac smanji do vrednosti 1. Unutar funkcije treba postaviti ispitivanje uslova (n==1) preko naredbe if i ako je ispunjen u tom slučaju funkcija treba da vrati vrednost 1 jer je:
X0 = 1
Algoritam izvršavanja se može videti na slici ispod:
Slika 1: Rekurzivni algoritmi. Izračunavanje x na n-ti stepen
Funkcija stepen( ) se prvi put poziva u funkciji main i tad je vrednost izložioca n. Unutar funkcije se proverava da li je stepen stigao do 1, što će se desiti u poslednjoj iteraciji, koja će se zapravo prva završiti. Funkcija tada vraće kao povratnu vrednost 1 i taj rezultat se koristi u pretposlednjem pozivu da bi se odredila vrednost koja se računa unutar funkcije. Zatim pretposlednja vraća vrednost i tako redom sve dok se ne stigne do početnog poziva unutar main metode. Tek tada imamo vrednost koja se tražila izračunatu i ona se može prikazati.
Kod koji ovo rešava:
Kod koji ovo rešava:
#include < iostream >
int stepen(int x, int n)
{
int main() {
using namespace std;
int stepen(int x, int n)
{
if(n==1)
}
return 1;
elsereturn x*stepen(x,n-1) ;
int main() {
int XN,X,N;
cin >> X;
cin >> N;
XN=stepen(X,N);
cout << XN << endl;
return 0;
}cin >> X;
cin >> N;
XN=stepen(X,N);
cout << XN << endl;
return 0;
Primere za vežbu sa upotrebom rekurzije možete naći na strani: Rekurzivni algoritmi-primeri
Fibonačijev niz
|
Zadatak kojim se određuje n-ti član Fibonačijevog niza, može se između ostalog rešiti rekurzijom: Pogledajte više o tome na strani:
Fibonačijev niz |
|
Iz decimalnog zapisa u binarni
Posmatrajmo sledeći problem:
Napisati rekurzivnu funkciju kojom se prirodni broj napisan u dekadnom obliku n ispisuje u binarnom obliku u direktnom poretku.
Primer 1:
Ulaz
22
Izlaz
0000 0000 0001 0110
Primer 2:
Ulaz
2147483647
Izlaz
1111 1111 1111 1111
Primer 1:
Ulaz
22
Izlaz
0000 0000 0001 0110
Primer 2:
Ulaz
2147483647
Izlaz
1111 1111 1111 1111
Razmislimo kako se neki broj u dekadnom obliku, npr n=22 pretvara u binaran oblik. Treba da razložimo taj broj koristeći stepene broja 2 samo po jedanput. Da se podsetimo, stepeni broja 2 su:
20=1
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
....
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
....
Broj 22 se može dobiti:
22=16+4+2=1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21+ 0*20
Dakle, koeficijenti uz stepene broja 2 određuju broj:
1 0 1 1 0=16+4+2=1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21+ 0*20
|
S obzirom da se radi o int podacima koji imaju 16 bitova memorije, vrednost na krajnjoj levoj poziciji iznosi:
|
215
|
pa je:
22=0+0+ .. +16+4+2=0*215+0*214+...+1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21+ 0*20
Rekurzivna funkcija treba da dobije ostatak broja kao parametar, koji je u početku jednak unetom dekadnom zapisu broja. U svakoj rekurziji se dalje taj broj transformiše tako što mu se oduzme prvi manji stepen broja 2, ako je taj ostatak manji ili ostaje isti u suprotnom. U svakoj rekurziji se prosleđuje kao parametar, takođe i sledeći manji stepen broja 2. Početni stepen je određen veličinom memorije koju zauzima podatak. Ako je u pitanju npr. ceo broj od 16 bita, onda je početna vrednost stepena broja 2
|
215 = 32768
|
Svaki sledeći je duplo manji. Rekurzija se završava kada ovaj broj dostigne 1.
|
Rešenje u programskom jeziku C
#include < stdio.h>
#include < math.h > /* rekurzivna funkcija koja pretvara iz decimalnog u binarni zapis . parametri: n-broj u dekadnom zapisu, s2- stepen broja 2 */ void db(int n,int s2) {
if(n >= s2)
}
int main()
printf("1");
else
printf("0");
if(s2 > 1){
int t;
}t = (n >= s2)?n-s2:n; db(t,s2/2); {
int n,s2=1,i=0; /*n-broj u dekadnom zapisu, s2-stepen broja 2*/
}scanf("%d",&n); while(i<15) /*izlozilac broja 2 */
i++;
db(n,s2);s2*=2; return 0; |
Rešenje u programskom jeziku C++
#include < iostream>
using namespace std; /* rekurzivna funkcija koja pretvara iz decimalnog u binarni zapis . parametri: n-broj u dekadnom zapisu, s2- stepen broja 2 */ void db(int n, int s2) {
if(n >= s2)
}
int main()
cout << "1" << endl;
else
cout << "0" << endl;
if(s2 > 1){
int t;
}t = (n >= s2)?n-s2:n; db(t,s2/2); {
int n,s2=1,i=0; /*n-broj u dekadnom zapisu, s2-stepen broja 2*/
}cin >> n; while(i < 15) /*izlozilac broja 2 */
i++;
db(n,s2);s2 *= 2; return 0; |
Računanje determinante kvadratne matrice dimenzije n
Posmatrajmo sledeći zadatak:
Učitati dimenziju "n" matrice A , a zatim učitati matricu. Kreirati aplikaciju koja rešava determinantu matrice D(A) i ispisuje na ekranu.
Učitati dimenziju "n" matrice A , a zatim učitati matricu. Kreirati aplikaciju koja rešava determinantu matrice D(A) i ispisuje na ekranu.
Postupak izračunavanja determinante se može uraditi rekurzijom. Prilikom razvijanja determinante D(A) matrice A, matrica se razvija po određenom redu ili koloni i svodi se na izraz u kome su pored članova razvijenog reda ili kolone potrebni odgovarajući kofaktori tih elemenata, a to su nove determinante izdvojene iz polazne, ako precrtamo red i kolonu u kojem se nalazi element. Dakle svešće se na determinantu nižeg reda(vidi sliku 2).
Matricu ćemo definisati upotrebom pokazivača kao dvodimenzionalni dinamički niz (int ** A). Više o dinamičkim dvodimenzionalnim nizovima-matricama, kako se definišu, učitavaju, ispisuju, kopiraju itd. pročitajte u članku: Dvodimenzioni dinamički nizovi-matrice.
Kod prikazan u nastavku je detaljno objašnjen u pomenutom članku, a ovde će biti samo prikazan:
Matricu ćemo definisati upotrebom pokazivača kao dvodimenzionalni dinamički niz (int ** A). Više o dinamičkim dvodimenzionalnim nizovima-matricama, kako se definišu, učitavaju, ispisuju, kopiraju itd. pročitajte u članku: Dvodimenzioni dinamički nizovi-matrice.
Kod prikazan u nastavku je detaljno objašnjen u pomenutom članku, a ovde će biti samo prikazan:
#include < stdio.h >
#include < stdlib.h >
#include< math.h >
/*Funkcija za ispisivanje matrice
* parametri su
* a- pokazivač na matricu(pokazivač na pokazivač)
* n -dimenzija matrice
*/
void ispisatiMatricu( int ** a, int n)
{
int main()
{
#include < stdlib.h >
#include< math.h >
/*Funkcija za ispisivanje matrice
* parametri su
* a- pokazivač na matricu(pokazivač na pokazivač)
* n -dimenzija matrice
*/
void ispisatiMatricu( int ** a, int n)
{
for(int i=0; i < m; i++)
{
}{
for(int j=0; j < n; j++)
{
printf("\n");
}{
printf("%d ",a[i][j]);
}printf("\n");
int main()
{
int n;
int **A;
printf("n=?\n");
scanf("%d",&n);
A=(int**)malloc(n*sizeof(int*));
printf("Matrica?\n");
for(int i=0; i < n; i++)
{
printf("Matrica ispis:\n");
ispisatiMatricu(A,n);
return 0;
}int **A;
printf("n=?\n");
scanf("%d",&n);
A=(int**)malloc(n*sizeof(int*));
printf("Matrica?\n");
for(int i=0; i < n; i++)
{
A[i]=(int*)malloc(n*sizeof(int));
for(int j=0; j < n; j++)
{
}for(int j=0; j < n; j++)
{
scanf("%d",&A[i][j]);
}printf("Matrica ispis:\n");
ispisatiMatricu(A,n);
return 0;
Sada ćemo kreirati posebnu funkciju koja računa determinantu, a poziva se iz glavne funkcije. Kreiraćemo funkciju kojoj kao parametre šaljemo matricu A, polaznu dimenziju matrice n, red ili kolonu po kojoj se matrica razvija r i c, niz logičkih promenljivih gde indeks u nizu odgovara indeksu reda, a vrednost elementa u nizu logičkom podatku, koji govori da li je red precrtan ili nije(1-da, 0-ne) i označen je kao redP(int*) i na kraju, poslednji parametar je isto to, ali za kolone i označen je kao colP.
Ove parametre je potrebno pripremiti u main funkciji, pre poziva funkcije za rekurzivno određivanje determinante, a zatim pozvati funkciju. Promenjena main metoda(funkcija) sada će biti:
Ove parametre je potrebno pripremiti u main funkciji, pre poziva funkcije za rekurzivno određivanje determinante, a zatim pozvati funkciju. Promenjena main metoda(funkcija) sada će biti:
#include < stdio.h >
#include < stdlib.h >
#include< math.h >
/*Funkcija za ispisivanje matrice
* parametri su
* a- pokazivač na matricu(pokazivač na pokazivač)
* n -dimenzija matrice
*/
void ispisatiMatricu( int ** a, int n)
{
int main()
{
#include < stdlib.h >
#include< math.h >
/*Funkcija za ispisivanje matrice
* parametri su
* a- pokazivač na matricu(pokazivač na pokazivač)
* n -dimenzija matrice
*/
void ispisatiMatricu( int ** a, int n)
{
for(int i=0; i < m; i++)
{
}{
for(int j=0; j < n; j++)
{
printf("\n");
}{
printf("%d ",a[i][j]);
}printf("\n");
int main()
{
int n;
int **A;
printf("n=?\n");
scanf("%d",&n);
A=(int**)malloc(n*sizeof(int*));
printf("Matrica?\n");
for(int i=0; i < n; i++)
{
printf("Matrica ispis:\n");
ispisatiMatricu(A,n);
}int **A;
printf("n=?\n");
scanf("%d",&n);
A=(int**)malloc(n*sizeof(int*));
printf("Matrica?\n");
for(int i=0; i < n; i++)
{
A[i]=(int*)malloc(n*sizeof(int));
for(int j=0; j < n; j++)
{
}for(int j=0; j < n; j++)
{
scanf("%d",&A[i][j]);
}printf("Matrica ispis:\n");
ispisatiMatricu(A,n);
int * colP=(int*) malloc(n*sizeof(int));
for(int i=0; i < n; i++)
{
int * redP = (int*) malloc(n*sizeof(int));
for(int i=0; i < n; i++)
{
int r=0,c=-1,ponovo=1;
while(ponovo)
{
printf("Kraj\n");
return 0;for(int i=0; i < n; i++)
{
colP[i] = 0;
}int * redP = (int*) malloc(n*sizeof(int));
for(int i=0; i < n; i++)
{
redP[i]=0;
}int r=0,c=-1,ponovo=1;
while(ponovo)
{
printf("Unesi index reda i kolone po kojoj zelis razvijanje matrice,0 - %d.\n.
Stavi -1 za red ako je razvijanje po koloni i obrnuto\n",n);
scanf("%d%d",&r,&c);
int d=determinanta(A,n,r,c,n,redP,colP);/*parametri: matrica n*n(A), red po kome ce se razvijati, kolona=-1 znaci da se ne razvija po koloni, niz precrtanih redova, niz precrtanih kolona*/
printf("Determinanta(A): %d\n",d);
printf("Unesi 0, ako zelis da zavrsis zadatak!");
scanf("%d",&ponovo);
}Stavi -1 za red ako je razvijanje po koloni i obrnuto\n",n);
scanf("%d%d",&r,&c);
int d=determinanta(A,n,r,c,n,redP,colP);/*parametri: matrica n*n(A), red po kome ce se razvijati, kolona=-1 znaci da se ne razvija po koloni, niz precrtanih redova, niz precrtanih kolona*/
printf("Determinanta(A): %d\n",d);
printf("Unesi 0, ako zelis da zavrsis zadatak!");
scanf("%d",&ponovo);
printf("Kraj\n");
Da bi pamtili redove koji su pri rešavanju determinante precrtani, a takođe i kolone, uvedena su dva dinamička niza, redP i colP, i vrednosti inicijalizovane na 0, što u C jeziku za logičke podatke(int) znači netačno(false).
Ovi pokazivači će biti prosleđeni kao parametri u pozivu funkcije za izračunavanje determinante. Takođe se prosleđuju red r i kolona c po kojoj se determinanta razvija. Npr. ako treba da se razvije po prvom redu(indeks i je 0), onda je r=0, a kolona c=-1. Vrednost (-1) govori da se ne razvija po koloni. Ako bi se npr. razvijalo po 2. koloni(j=1), onda bi bilo r=-1, a c=1.
U nastavku je pokazana rekurzivna funkcija determinanta() - postupak, a posle toga i kod.
Ovi pokazivači će biti prosleđeni kao parametri u pozivu funkcije za izračunavanje determinante. Takođe se prosleđuju red r i kolona c po kojoj se determinanta razvija. Npr. ako treba da se razvije po prvom redu(indeks i je 0), onda je r=0, a kolona c=-1. Vrednost (-1) govori da se ne razvija po koloni. Ako bi se npr. razvijalo po 2. koloni(j=1), onda bi bilo r=-1, a c=1.
U nastavku je pokazana rekurzivna funkcija determinanta() - postupak, a posle toga i kod.
Slika 2: Postupak određivanja determinante kvadratne matrice-rekurzivna metoda
Na slici 2 je prikazan postupak razvijanja matrice dimenzija 3*3 po prvom redu(r=0, c=-1), radi određivanja determinante iste kvadratne matrice.
. Postupak izračunavanja determinante možete pogledati na web strani:Određivanje determinante kvadratne matrice
Algoritam je rekurzivan, tj. da bi se odredio kofaktor određenog člana, npr. kofaktor od elementa a11=3(obojeno crvenom bojom na slici), potrebno je odrediti kofaktor C11, koji predstavlja determinantu nižeg reda, u ovom primeru 2*2 i to su elementi [ -6, 3, 1, 7], uokvireni crvenim pravougaonikom na slici . Sada se taj kofaktor tj. determinanta 2*2 takođe razvija po prvoj koloni tj po elementima a11=-6 i a12=3, a odgovarajući kofaktori su sada determinante prvog reda C11= 7 i C12=-1. Pored vrednosti mora se uzeti i koeficijent K= (-1)i+j, gde je i-red, a j-kolona matrice čija se determinanta određuje(vidi tabelu sa "+" i "-", na slici. Tako se za kofaktor C12 dobija -1 jer je koeficijent u prvom redu i prvoj koloni K11=(-1)1+1=-1. Ako bi smo posmatrali početnu tabelu 3*3 sa "+" i "-", onda ne gledamo znak kofaktora u preseku 2. reda i 2. kolone gde se nalazi element matrice -6, nego moramo da se pomerimo, za jedno mesto levo i gore tj. za pom= n-dim=3-2=1, gde je n=3, početna dimenzija matrice, a dim=2 trenutna dimenzija matrice, jer u matrici 3*3 na poziciji člana a22 je koeficijent "-", a zapravo u matrici 2*2 to je pozicija a11, gde je znak "+".
Da bi se izbeglo prepisivanje kofaktora nekog elementa matrice u novu matricu, jer ta operacija, u slučaju velike dimenzije matrice može da zahteva veliki broj operacija, što bi usporilo izvršavanje programa, određivanje kofaktora će biti urađeno na originalnoj matrici, tako što se odgovarajući red ili kolona precrtaju, što je prikazano na sledećoj slici, tj. slici 3:
Slika 3: Postupak određivanja determinante kvadratne matrice-rekurzivna metoda sa zadržavanjem originalne matrice
U nastavku je pokazana rekurzivna funkcija determinanta() - kod.
/*Određuje determinantu matrice a
parametri:
a-matrica početna n*n
n-dimenzija kvadratne matrice
r-red za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po redu
c-kolona za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po koloni
redP-niz precrtanih redova u matrici
colP-niz precrtanih kolona u matrici
*/
int determinanta(int ** a,int n, int r,int c,int dim, int * redP, int * colP)
{
parametri:
a-matrica početna n*n
n-dimenzija kvadratne matrice
r-red za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po redu
c-kolona za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po koloni
redP-niz precrtanih redova u matrici
colP-niz precrtanih kolona u matrici
*/
int determinanta(int ** a,int n, int r,int c,int dim, int * redP, int * colP)
{
int rez=0;
if(dim==1)
{
else
{
if(dim==1)
{
int i=0,j=0;
while(redP[i])
{
while(colP[j])
{
rez=a[i][j];
}while(redP[i])
{
i++;
}while(colP[j])
{
j++;
}rez=a[i][j];
else
{
int k=1;
if(r!=-1 && c==-1) //ako se determinanta razvija po redu
{
return rez;
}if(r!=-1 && c==-1) //ako se determinanta razvija po redu
{
int pom=n-dim;//smanjenje broja posmatranih redova u originalnoj matrici
while(redP[r]){
r=r%n;//korekcija ako je r > n
for(int j = 0,t = 0; j < n; j++)
{
else if(c!=-1 && r==-1)
{
else /*Greska*/
{
}while(redP[r]){
r++;
}r=r%n;//korekcija ako je r > n
for(int j = 0,t = 0; j < n; j++)
{
if(colP[j])
{
k=(int)pow(-1,(r-pom+t));//koeficijent kofaktora(1 ili -1)
colP[j]=1;//precrtana kolona u velikoj matrici
redP[r]=1;//precrtan red u velikoj matrici
/*Rekurzivni poziv iste funkcije*/
int d=determinanta(a,n,0,-1,dim-1,redP,colP);
printf("red %d, col %d: %d * %d * %d\n",r,j,k,a[r][j],d);
rez=rez+k*a[r][j]*d;
colP[j]=0;//vracena precrtana kolona u velikoj matrici
redP[r]=0;//vracen precrtan red u velikoj matrici
t++;
}
}{
continue;
}k=(int)pow(-1,(r-pom+t));//koeficijent kofaktora(1 ili -1)
colP[j]=1;//precrtana kolona u velikoj matrici
redP[r]=1;//precrtan red u velikoj matrici
/*Rekurzivni poziv iste funkcije*/
int d=determinanta(a,n,0,-1,dim-1,redP,colP);
printf("red %d, col %d: %d * %d * %d\n",r,j,k,a[r][j],d);
rez=rez+k*a[r][j]*d;
colP[j]=0;//vracena precrtana kolona u velikoj matrici
redP[r]=0;//vracen precrtan red u velikoj matrici
t++;
}
else if(c!=-1 && r==-1)
{
int pom=n-dim;//smanjenje broja posmatranih redova u originalnoj matrici
while(colP[c]){
c=c%n;//korekcija ako je r>n
for(int i=0,h=0; i < n; i++)
{
}while(colP[c]){
c++;
}c=c%n;//korekcija ako je r>n
for(int i=0,h=0; i < n; i++)
{
if(redP[i])
{
k=(int)pow(-1,(c-pom+h));//koeficijent kofaktora(1 ili -1)
colP[c]=1;//precrtana kolona u velikoj matrici
redP[i]=1;//precrtan red u velikoj matrici
int d=determinanta(a,n,-1,0,dim-1,redP,colP);
printf("red %d, col %d: %d * %d * %d\n",i,c,k,a[i][c],d);
rez=rez+k*a[i][c]*d;
colP[c]=0;//vracena precrtana kolona u velikoj matrici
redP[i]=0;//vracen precrtan red u velikoj matrici
h++;
}{
continue;
}k=(int)pow(-1,(c-pom+h));//koeficijent kofaktora(1 ili -1)
colP[c]=1;//precrtana kolona u velikoj matrici
redP[i]=1;//precrtan red u velikoj matrici
int d=determinanta(a,n,-1,0,dim-1,redP,colP);
printf("red %d, col %d: %d * %d * %d\n",i,c,k,a[i][c],d);
rez=rez+k*a[i][c]*d;
colP[c]=0;//vracena precrtana kolona u velikoj matrici
redP[i]=0;//vracen precrtan red u velikoj matrici
h++;
else /*Greska*/
{
printf("Greska");
return -1;
}return -1;
return rez;
Funkcija prima za parametar pokazivač na pokazivač (int ** a), što je zapravo pokazivač na matricu i izmene koje se budu izvršile u funkciji determinanta() će se odraziti na originalnu matricu. Ostali parametri su broj redova n, indeks reda r i kolone c po kojoj se vrši razvijanje determinante. Jedna od tih vrednosti mora biti -1 jer se matrica ne može razvijati i po redu i po koloni, pa ako je npr. r=0, a c=-1, to znači da se matrica razvija po redu sa indeksom 0.
Parametar dim je trenutna dimenzija matrice unutar tekuće iteracije u rekurziji i smanjuje se u svakoj sledećoj iteraciji.
Preostala dva parametra redP i colP su pokazivači na nizove tipa bool, gde indeks u nizu odgovara nekom redu tj. koloni, a vrednost, ako je true(1) govori o tome, da je taj red ili kolona precrtan(precrtana). Ovo je je zbog toga da bi se izbeglo da se u svakoj iteraciji odgovarajući kofaktor prepisuje u novu matricu, što bi znatno usporilo izvršavanje programa.
Unutar funkcije razlikujemo dva slučaja, kada je dim = 1 i dim različito od 1. Prvi je zapravo poslednja iteracija, kada se kofaktor svede na matricu dimenzije 1 i tada se vraća vrednost determinante jednaka tom članu matrice, gde se još vodi i računa o predznaku, da li je 1 ili -1.
U drugom delu se razvija matrica, po redu r ili koloni c i vrednost determinante se izračunava pravljenjem izraza sa članovima razvijenog npr. reda i odgovarajućeg kofaktora. Taj kofaktor je nova determinanta koja se dobija od prethodne, dodatnim precrtavanjem reda i kolone u kojoj se nalazi pomenuti član matrice. To znači da se za izračunavanje kofaktora mora ponovo pozvati ista funkcija determinanta(), ali sada sa novim pripremljenim parametrima što se može videti u prikazanom kodu.
Parametar dim je trenutna dimenzija matrice unutar tekuće iteracije u rekurziji i smanjuje se u svakoj sledećoj iteraciji.
Preostala dva parametra redP i colP su pokazivači na nizove tipa bool, gde indeks u nizu odgovara nekom redu tj. koloni, a vrednost, ako je true(1) govori o tome, da je taj red ili kolona precrtan(precrtana). Ovo je je zbog toga da bi se izbeglo da se u svakoj iteraciji odgovarajući kofaktor prepisuje u novu matricu, što bi znatno usporilo izvršavanje programa.
Unutar funkcije razlikujemo dva slučaja, kada je dim = 1 i dim različito od 1. Prvi je zapravo poslednja iteracija, kada se kofaktor svede na matricu dimenzije 1 i tada se vraća vrednost determinante jednaka tom članu matrice, gde se još vodi i računa o predznaku, da li je 1 ili -1.
U drugom delu se razvija matrica, po redu r ili koloni c i vrednost determinante se izračunava pravljenjem izraza sa članovima razvijenog npr. reda i odgovarajućeg kofaktora. Taj kofaktor je nova determinanta koja se dobija od prethodne, dodatnim precrtavanjem reda i kolone u kojoj se nalazi pomenuti član matrice. To znači da se za izračunavanje kofaktora mora ponovo pozvati ista funkcija determinanta(), ali sada sa novim pripremljenim parametrima što se može videti u prikazanom kodu.
Nakon pokretanja u konzoli će se prikazati:
Slika 4: Postupak određivanja determinante kvadratne matrice aplikacija-izvršenje
Određivanje inverzne matrice
Prethodni opisani kod ćemo sada iskoristiti da odredimo inverznu matricu.
Dodaćemo funkcije adjugovana(int ** a, int n), koja prihvata kao parametre pokazivač na matricu i dimenziju kvadratne matrice n i funkciju float ** inverzna(int ** aT, int det, int n), koja kao parametre prihvata transponovanu matricu, vrednost izračunate determinante učitane matrice A, kao i dimenziju matrice n.
Transponovana matrica i njeno određivanje su objašnjeni u članku: Dvodimenzioni dinamički nizovi-matrice
Određivanje determinante je objašnjeno, prethodno u ovom članku, a ono što je potrebno znati o adjugovanoj matrici možete pročitati u članku: bs.wikipedia.org/wiki/Adjungovana_matrica
U nastavku će biti opisana metoda koja računa adjugovanu matricu.
Adjugovana matrica
Iskoristićemo prethodni kod određivanja determinante, da bi smo izračunali kofaktore prilikom razvijanja matrice po određenom redu ili koloni što se može videti u prikazanom kodu ispod u kome je prikazana funkcija adjugovana().
void adjugovana(int ** a, int n)
{
{
int **aA;
aA= copyMatrix(a,n);
int k=1;
for(int i=0; i < n; i++)
{
}aA= copyMatrix(a,n);
int k=1;
for(int i=0; i < n; i++)
{
for(int j=0; j < n; j++)
{
}{
int * colP=(int*) malloc(n*sizeof(int));
for(int i=0; i < n; i++)
{
int * redP=(int*) malloc(n*sizeof(int));
for(int i=0; i < n; i++)
{
redP[i]=1;
colP[j]=1;
int kofA;
kofA=determinanta(aA,n,0,-1,n-1,redP,colP);
k=(int)pow(-1,(i+j));
a[i][j]=k*kofA;
free(redP);
free(colP);
}for(int i=0; i < n; i++)
{
colP[i]=0;
}int * redP=(int*) malloc(n*sizeof(int));
for(int i=0; i < n; i++)
{
redP[i]=0;
}redP[i]=1;
colP[j]=1;
int kofA;
kofA=determinanta(aA,n,0,-1,n-1,redP,colP);
k=(int)pow(-1,(i+j));
a[i][j]=k*kofA;
free(redP);
free(colP);
Matrica poslata preko pokaziva;a se prvo kopira, da bi se sacuvala originalna, a zatim se koriste ugnježdene petlje, da bi se prošlo kroz sve elemente matrice i iste zamenile odgovarajućim kofaktorima. Kofaktor se dobija izračunavanjem proizvoda koeficijenta k čija vrednost može biti 1 ili -1, zavisno od položaja u matrici
k=(-1)i+j
i odgovarajućeg minora matrice.
Odgovarajući minor matrice se sada izračunava pozivom prethodno kreirane funkcije za izračunavanje determinante i prosleđivanjem kao parametra: pokazivača na matricu aA, dimenziju n, zatim indekse r= 0 za red, a c=-1 za kolonu, što znači da će se determinanta razvijati po redu sa indeksom 0, tj. prvom redu i na kraju nizove sa logičkim podacima koji govore o tome koji su redovi i kolone precrtani(objašnjeno ranije, za izračunavanje determinante kvadratne matrice).
Unutar main metode treba dodati poziv ove funkcije:
Odgovarajući minor matrice se sada izračunava pozivom prethodno kreirane funkcije za izračunavanje determinante i prosleđivanjem kao parametra: pokazivača na matricu aA, dimenziju n, zatim indekse r= 0 za red, a c=-1 za kolonu, što znači da će se determinanta razvijati po redu sa indeksom 0, tj. prvom redu i na kraju nizove sa logičkim podacima koji govore o tome koji su redovi i kolone precrtani(objašnjeno ranije, za izračunavanje determinante kvadratne matrice).
Unutar main metode treba dodati poziv ove funkcije:
/*prethodni kod ....*/
int d=determinanta(A,n,0,-1,n,redP,colP);/*parametri: matrica n*n(A), red po kome ce se razvijati,
kolona=-1 znaci da se ne razvija po koloni, niz precrtanih redova, niz precrtanih kolona*/
free(colP); // oslobađa dinamičku memoriju za colP
free(redP);//
printf("Determinanta(A): %d\n",d);
int d=determinanta(A,n,0,-1,n,redP,colP);/*parametri: matrica n*n(A), red po kome ce se razvijati,
kolona=-1 znaci da se ne razvija po koloni, niz precrtanih redova, niz precrtanih kolona*/
free(colP); // oslobađa dinamičku memoriju za colP
free(redP);//
printf("Determinanta(A): %d\n",d);
if(d==0)
{
printf("Matrica je singularna");
return 0;
}
transponovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
printf("Adjugovana matrica A:\n");
adjugovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
{
printf("Matrica je singularna");
return 0;
}
transponovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
printf("Adjugovana matrica A:\n");
adjugovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
Prvo se proverava da li je matrica singularna i u tom slučaju se ne računa ni adjugovana ni inverzna matrica, već se samo obavesti korisnik da je matrica singularna i izlazi iz programa.
U slučaju da je matrica regularna, određuje se prvo adjugovana, a zatim i inverzna matrica(biće prikazano u nastavku).
U slučaju da je matrica regularna, određuje se prvo adjugovana, a zatim i inverzna matrica(biće prikazano u nastavku).
Funkcija za određivanje inverzne matrice
Funkcija koja određuje inverznu matricu na osnovu adjugovane matrice i determinante matrice a, je prikazana ispod:
/*Određuje determinantu matrice a
parametri:
a-matrica početna n*n
n-dimenzija kvadratne matrice
r-red za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po redu
c-kolona za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po koloni
redP-niz precrtanih redova u matrici
colP-niz precrtanih kolona u matrici
*/
float ** inverzna(int ** aT, int det, int n)
{
parametri:
a-matrica početna n*n
n-dimenzija kvadratne matrice
r-red za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po redu
c-kolona za razvijanje matrice ili -1 ako se ne razvija po koloni
redP-niz precrtanih redova u matrici
colP-niz precrtanih kolona u matrici
*/
float ** inverzna(int ** aT, int det, int n)
{
float **aI;
aI = (float **)malloc(n*sizeof(float*));
for(int i=0; i < n; i++)
{
return aI;
}aI = (float **)malloc(n*sizeof(float*));
for(int i=0; i < n; i++)
{
aI[i]=(float *)malloc(n*sizeof(float));
for(int j=0; j < n; j++)
{
}for(int j=0; j < n; j++)
{
aI[i][j]=(float)aT[i][j]/det;
}return aI;
Ovde treba uočiti da funkcija vraća pokazivač na novu matricu, koja predstavlja inverznu matricu, kvadratne matrice A. Kao parametar funkciji su prosleđene adjugovana matrica, preko pokazivača na pokazivač, determinanta matrice i dimenzija matrice n.
Inverzna matrica aI se određuje tako što se koristeći ugnježdene petlje prolazi kroz elemente adjugovane matrice i ti elementi se zamenjuju količnikom istog elementa i vrednosti determinante d, koja je takođe bila prosleđena kao parametar funkciji.
S obzirom da rezultat deljenja mođe biti i realan broj, ova funkcija vraća pokazivač na pokazivač, ali na float tip podatka.
Inverzna matrica aI se određuje tako što se koristeći ugnježdene petlje prolazi kroz elemente adjugovane matrice i ti elementi se zamenjuju količnikom istog elementa i vrednosti determinante d, koja je takođe bila prosleđena kao parametar funkciji.
S obzirom da rezultat deljenja mođe biti i realan broj, ova funkcija vraća pokazivač na pokazivač, ali na float tip podatka.
Unutar glavne main funkcije se poziva ova funkcija:
/*prethodni kod ....*/
int d=determinanta(A,n,0,-1,n,redP,colP);/*parametri: matrica n*n(A), red po kome ce se razvijati,
kolona=-1 znaci da se ne razvija po koloni, niz precrtanih redova, niz precrtanih kolona*/
free(colP); // oslobađa dinamičku memoriju za colP
free(redP);//
printf("Determinanta(A): %d\n",d);
if(d==0)
{
transponovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
printf("Adjugovana matrica A:\n");
adjugovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
int d=determinanta(A,n,0,-1,n,redP,colP);/*parametri: matrica n*n(A), red po kome ce se razvijati,
kolona=-1 znaci da se ne razvija po koloni, niz precrtanih redova, niz precrtanih kolona*/
free(colP); // oslobađa dinamičku memoriju za colP
free(redP);//
printf("Determinanta(A): %d\n",d);
if(d==0)
{
printf("Matrica je singularna");
return 0;
}return 0;
transponovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
printf("Adjugovana matrica A:\n");
adjugovana(A,n);
ispisatiMatricu(A,n);
float ** AI;
AI=inverzna(A,d,n);
ispisatiMatricuF(AI,n);
AI=inverzna(A,d,n);
ispisatiMatricuF(AI,n);
Unutar main funkcije deklarisana je nova matrica AI, koja se kreira pozivom metode inverzna() i prosleđivanjem adjugovane matrice A, determinante d i dimenzije n kao parametara.
Metoda ispisiMatricuF(AI,n) se poziva za ispisivanje matrice čije su vrednosti podaci tipa float i ona je prikazana u nastavku:
Metoda ispisiMatricuF(AI,n) se poziva za ispisivanje matrice čije su vrednosti podaci tipa float i ona je prikazana u nastavku:
void ispisatiMatricuF( float ** a, int n)
{
{
for(int i=0; i < n; i++)
{
}{
for(int j=0; j < n; j++)
printf("\n");
}
{
printf("%.2f ",a[i][j]);
}printf("%.2f ",a[i][j]);
printf("\n");
Kompletno rešenje ovog zadatka je data u rešenju 11. zadatka na strani: Rekurzija-primeri
|
Sledeće
Rekurzija-primeri >| |
